定点数表示法

\(n\) 位 \(p\) 进制自然数可以表示为：

(1)\[\begin{split} \begin{aligned} x &= x_0 x_1 \cdots x_{n-1} x_{n} . x_{-1} \cdots x_{-n+1} x_{-n}\\ &= (x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, x_{n}, x_{-1}, \cdots, x_{-n+1}, x_{-n}) \begin{bmatrix} p^n \\ p^{n-1} \\ \vdots \\ p^1 \\ p^0 \\ p^{-1} \\ \vdots \\ p^{-n+1} \\ p^{-n} \end{bmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

这里 \(p=2\)。

定点和浮点都是数值的表示，它们区别在于，将整数（integer）部分和小数（fractional）分开的点在哪里。定点保留特定位数整数和小数，而浮点保留特定位数的有效数字（significand）和指数（exponent）。

定点数指的是小数点固定的存储方式，因为小数点固定，所以不需要额外使用存储空间存储小数点，只需要约定好即可。计算机中定点数有两种类型：

定点小数

纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。

若数据 \(x=s_0.x_{-1} x_{-2} \cdots x_{-n}\)，其中 \(s_0\) 为符号位，\(x_{-1} \cdots x_{-n}\) 为数值有效部分，也称为 尾数；\(x_{-1}\) 为最高有效位。

一般说来，如果最末位 \(x_{-n} = 1\)，前面各位都为 \(0\)，则数的绝对值最小，即 \(|x|_{\min} = 2^{-n}\)。如果各位均为 \(1\)，则数的绝对值最大，即 \(|x|_{\max} = 1-2^{-n}\)。所以定点小数的表示范围是：\(2^{-n} \leq |x| \leq 1 - 2^{-n}\)。

定点整数

纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。

若数据 \(x=s_0x_1 x_2 \cdots x_n\)，其中 \(s_0\) 为符号位，\(x_1 \cdots x_n\) 为数值有效部分，也称为 尾数；\(x_1\) 为最高有效位。

定点整数的表示范围是：\(1 \leq |x| \leq 2^{n} - 1\)。

当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作 \(0\) 处理，称为 下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为 上溢，上溢和下溢统称为 溢出。

计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个缩放因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据缩放因子，还原成实际数值。若缩放因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。

用定点数进行运算处理的计算机被称为 定点机。

定点数实例

可以使用 bin() 将整数转换为二进制表示。

bin(0), bin(1), bin(2), bin(3), bin(4), bin(5), bin(6)

('0b0', '0b1', '0b10', '0b11', '0b100', '0b101', '0b110')

对于 25.125 表示为定点整数需要如下操作：

1. 将整数部分转换为定点整数：

bin(25)

'0b11001'

def fixed_inter(x):
    L = []
    while x != 0:
        L.append(str(x % 2))
        x = x // 2
    L.reverse()
    x = "0b" + "".join(L)
    return x

fixed_inter(25)

'0b11001'

2. 小数部分转换为定点小数：

import numpy as np


def fixed_decimal(x):
    L = []
    while x != 0:
        x, b = np.modf(x * 2)
        L.append(str(int(b)))
    x = "." + "".join(L)
    return x

x = 0.125
fixed_decimal(x)

'.001'

拼在一起就是：

fixed_inter(25) + fixed_decimal(x)

'0b11001.001'