浮点数

浮点数#

浮点数是与定点数相对的概念，计算机中的定点数约定小数点的位置不变，即人为约定俗成地规定了小数点的位置。例如定点纯整数约定了小数点在数值位的最后。定点纯小数约定了数值位的最高位在小数点后面。

由于计算机字长的限制，当需要表示的数据有很大的数值范围时，他们不能直接用定点小数或者定点整数表示。

浮点数的形式

浮点数由尾数 $M$ 和阶码 $E$ 构成。基数为 $2$ 的数 $F$ 的浮点数表示为：

F = M * 2^{E}

尾数 $M$ 必须为小数，用 $n + 1$ 位有符号定点小数表示，可采用原码，补码。阶码 $E$ 必须为整数，用 $k + 1$ 位有符号定点整数表示，可采用原码，补码，移码。浮点数编码的位数 $m = (n + 1) + (k + 1)$ 。

阶符	阶码数值部分	数符	尾数数值部分
$1$	$k$	$1$	$n$

备注

阶码是整数，其位数 $k + 1$ 决定了浮点数表示的数值范围，也就是决定了数据的大小，或小数点在数据中的真实位置。阶码越长，所能表示的范围越大。
阶符决定阶码的正负。
尾数是小数，其位数 $n + 1$ 决定了浮点数的精度，如果尾数采用小数且位数 $n$ 足够长，则当浮点数运算需要对尾数运算结果舍入时，造成的数据精度损失会比较小。即尾数越长，所能表示的精度越高。尾数的符号表示浮点数的正负。

当对尾数 $M$ 只要求是小数而无其他限制时，此时的浮点数被称为 非规格化浮点数。假设阶码和尾数都用补码表示，则非规格化浮点数可表示的范围如下：

阶码和尾数	数值	阶码和尾数	数值
阶码最小值	$- 2^{k}$	阶码最大值	$2^{k} - 1$
尾数最小负值	$- 1$	尾数最大负值	$- 2^{- n}$
尾数最小正值	$+ 2^{n}$	尾数最大正值	$+ (1 - 2^{- n})$

以 8 位数值位，一位符号位的阶码为例子：

由于用补码表示，所以阶码的最小值应该为：1 00000000 即 $- 2^{8} = - 256$ ；而阶码的最大值应为：0 11111111 即 $2^{8} - 1 = 255$ 。