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二进制码

二进制码#

在计算机的世界中，一切都是使用二进制的数字进行表示的，约定所讨论到的二进制数字都是存储在 「机器字长」 为 8 位（即 1 Byte）的计算机中。也就是说一个存储单元最多只能够存储 8 个二进制数字，多出来的部分都将会被抛弃掉，只保留低 8 位的数据。

备注

  • 机器数 是数在计算机中的二进制表示形式。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为 \(0\)，负数为 \(1\)。

  • 机器数的 真值 是将带符号位的机器数转换为真正数值。

而且从硬件的角度上看，只有正数加负数才算减法，正数与正数相加，负数与负数相加，其实都可以通过 加法器 直接相加。计算机做减法，需要引入原码、反码、补码的概念。

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>

原码#

  • 原码 （true form）是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为 \(0\)，负数该位为 \(1\)（\(0\) 有两种表示：\(+0\) 和 \(-0\)），其余位表示数值的大小。

  • 原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。

比如：如果是 \(8\) 位二进制：

\[ +11_{(10)} = 2^3 + 2^1 + 2^0 = +1011_{(2)} \]

这里 1011 代表真值，需要转换为 int8_t，即表示为 \(0000\ 1011\)。

因而，int8_t 的取值范围为 \([1111\ 1111, 0111\ 1111]\)，即 \([-127, 127]\)。

原码的特点：

  1. 原码表示直观、易懂，与真值转换容易。

  2. 原码中 \(0\) 有两种不同的表示形式，给使用带来了不便。 通常 \(0\) 的原码用 \(+0\) 表示，若在计算过程中出现了 \(-0\)，则需要用硬件将 \(-0\) 变成 \(+0\)。

  3. 原码表示加减运算复杂。 利用原码进行两数相加运算时，首先要判别两数符号，若同号则做加法，若异号则做减法。在利用原码进行两数相减运算时，不仅要判别两数符号，使得同号相减，异号相加；还要判别两数绝对值的大小，用绝对值大的数减去绝对值小的数，取绝对值大的数的符号为结果的符号。可见，原码表示不便于实现加减运算。

反码#

原码最大的问题就在于一个数加上它的相反数不等于 \(0\)，于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那干脆用一个正数按位取反来表示负数。

反码的表示方法是：

  1. 正数的反码是其本身；

  2. 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余按位取反。

比如：

\[ -11_{(10)} = -(2^3 + 2^1 + 2^0) = -1011_{(2)} \]

这里 -1011 代表真值，需要转换为 int8_t，原码表示为 \(1000\ 1011\)，反码为 \(1111\ 0100\)。

反码的特点：

  1. 在反码表示中，用符号位表示数值的正负，形式与原码表示相同，即 \(0\) 为正；\(1\) 为负。

  2. 在反码表示中，数值 \(0\) 有两种表示方法。

  3. 反码的表示范围与原码的表示范围相同。

补码#

补码：正数的补码等于它的原码；负数的补码等于反码+1（这只是一种算补码的方式，多数书对于补码就是这句话）。

其实负数的补码等于反码+1只是补码的求法，而不是补码的定义，很多人以为求补码就要先求反码，其实并不是，那些计算机学家并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码，只不过补码正好就等于反码+1而已。

补码的特点：

  1. 在补码表示中，用符号位表示数值的正负，形式与原码的表示相同，即 \(0\) 为正，\(1\) 为负。但补码的符号可以看做是数值的一部分参加运算。 正数的补码表示就是其本身，负数的补码表示的实质是把负数映像到正值区域，因此加上一个负数或减去一个正数可以用加上另一个数（负数或减数对应的补码）来代替。 从补码表示的符号看，补码中符号位的值代表了数的正确符号，\(0\) 表示正数，\(1\) 表示负数；而从映像值来看，符号位的值是映像值的一个数位，因此在补码运算中，符号位可以与数值位一起参加运算。

  2. 在补码表示中，数值 \(0\) 只有一种表示方法。

  3. 负数补码的表示范围比负数原码的表示范围略宽。纯小数的补码可以表示到-1，纯整数的补码可以表示到 \(-2^n\)。

由于补码表示中的符号位可以与数值位一起参加运算，并且可以将减法转换为加法进行运算，简化了运算过程，因此计算机中均采用补码进行加减运算。

为什么负数的补码的求法是反码+1

因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111，在加1，就是10000，也就是四位二进数的模，而负数的补码是它的绝对值的同余数，可以通过模减去负数的绝对值得到它的补码，所以负数的补码就是它的反码+1。

\(w\) 位补码的数学定义为：

\[ - x_{w-1} 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{-2} x_i 2^i \]

“二进制上丢弃溢出的位，等价于使用溢出值取模”。

int8_t a = 11;

-100 % 2

0

std::string bin_uint8(uint8_t num)
{
  std::ostringstream oss;  // 用于记录信息
	int k;
	uint8_t *p = (uint8_t*)&num;
	for (int k = 7; k >= 0; k--) //处理 8 个位
	{
		if (*p & (1 << k))
			oss << 1;
		else
			oss << 0;
	}
	return oss.str();
}

bin_uint8(11)

"00001011"
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