1.1.4. 计算¶

参考 Calculus

本节介绍如何在 SymPy 中执行基本的微积分任务，例如导数、积分、极限和级数展开。

import warnings
from sympy import *

warnings.filterwarnings('ignore')
x, y, z = symbols('x y z')

微分¶

微分（derivatives）使用 diff 函数：

diff(cos(x), x)

\[\displaystyle - \sin{\left(x \right)}\]

diff(exp(x**2), x)

\[\displaystyle 2 x e^{x^{2}}\]

diff 可以一次取多个导数。要获取多个导数，请根据您希望微分的次数传递变量，或者在变量后传递一个数字。例如，下面两个都找到了 \(x^4\) 的三阶导数。

diff(x**4, x, x, x)

\[\displaystyle 24 x\]

diff(x**4, x, 3)

\[\displaystyle 24 x\]

您还可以一次对许多变量进行导数。只需按顺序传递每个导数，使用与单变量导数相同的语法。

例如：计算 \(\frac{\partial^7}{\partial x\partial y^2\partial z^4} e^{x y z}\)

expr = exp(x*y*z)
diff(expr, x, y, y, z, z, z, z)

\[\displaystyle x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff(expr, x, y, 2, z, 4)

\[\displaystyle x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff(expr, x, y, y, z, 4)

\[\displaystyle x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

diff 也可以称为方法。这两种调用 diff 的方式完全一样，提供只是为了方便。

expr.diff(x, y, y, z, 4)

\[\displaystyle x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

要创建未计算的导数，请使用 Derivative 类。它的语法与 diff 相同。

deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)
deriv

\[\displaystyle \frac{\partial^{7}}{\partial z^{4}\partial y^{2}\partial x} e^{x y z}\]

要计算未评估的导数，请使用 doit 方法。

deriv.doit()

\[\displaystyle x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\]

这些未求值的对象对于延迟导数的求值或用于打印目的很有用。当 SymPy 不知道如何计算表达式的导数时（例如，如果它包含未定义的函数，这在求解微分方程部分中进行了描述），它们也会被使用。

可以使用元组 (x, n) 创建未指定阶的导数，其中 n 是导数相对于 x 的阶数。

m, n, a, b = symbols('m n a b')
expr = (a*x + b)**m
expr.diff((x, n))

\[\displaystyle \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}} \left(a x + b\right)^{m}\]

积分¶

要计算积分，请使用 integrate 函数。积分有定积分和不定积分两种。要计算不定积分，即反导数（antiderivative）或原语（primitive），只需在表达式后传递变量即可。

integrate(cos(x), x)

\[\displaystyle \sin{\left(x \right)}\]

要计算定积分，请传递参数 (integration_variable, lower_limit, upper_limit)。

例如，计算：\(\int_0^\infty e^{-x}\,dx,\)

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

\[\displaystyle 1\]

与不定积分一样，您可以传递多个极限元组来执行多重积分。例如，要计算

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}}\, dx\, dy, \]

integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

\[\displaystyle \pi\]

如果 integrate 无法计算积分，则返回未计算的 Integral 对象。

expr = integrate(x**x, x)
expr

\[\displaystyle \int x^{x}\, dx\]

print(expr)

Integral(x**x, x)

与 Derivative 一样，您可以使用 Integral 创建未计算的积分。稍后要评估这个积分，请调用 doit。

expr = Integral(log(x)**2, x)
expr

\[\displaystyle \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx\]

expr.doit()

\[\displaystyle x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\]

集成使用强大的算法来计算定积分和不定积分，包括启发式模式匹配类型算法、Risch 算法的部分实现以及使用 Meijer G 函数的算法，该算法对于计算特殊函数的积分很有用，尤其是定积分。以下是一些集成函数的示例。

integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x - \
                  exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)
integ

\[\displaystyle \int \frac{\left(x^{4} + x^{2} e^{x} - x^{2} - 2 x e^{x} - 2 x - e^{x}\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2} \left(e^{x} + 1\right)}\, dx\]

integ.doit()

\[\displaystyle \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \frac{e^{x}}{x^{2} - 1}\]

integ = Integral(sin(x**2), x)
integ

\[\displaystyle \int \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx\]

integ.doit()

\[\displaystyle \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{8 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}\]

integ = Integral(x**y*exp(-x), (x, 0, oo))
integ

\[\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty} x^{y} e^{- x}\, dx\]

integ.doit()

\[\begin{split}\displaystyle \begin{cases} \Gamma\left(y + 1\right) & \text{for}\: \operatorname{re}{\left(y\right)} > -1 \\\int\limits_{0}^{\infty} x^{y} e^{- x}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

极限¶

计算：

\[ \lim_{x\to x_0} f(x) \]

使用 limit(f(x), x, x0)。

limit(sin(x)/x, x, 0)

\[\displaystyle 1\]

当评估点是奇点（singularity）时，应使用 limit 而不是 subs。尽管 SymPy 有表示 \(\infty\) 的对象，但使用它们进行评估并不可靠，因为它们不会跟踪诸如增长率之类的事情。此外，诸如 \(\infty - \infty\) 和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 之类的东西返回 nan （非数字）。

expr = x**2/exp(x)
expr.subs(x, oo)

\[\displaystyle \text{NaN}\]

limit(expr, x, oo)

\[\displaystyle 0\]

与 Derivative 和 Integral 一样，limit 也有一个未计算的对应物 Limit。要评估它，请使用 doit。

expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)
expr

\[\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right)\]

expr.doit()

\[\displaystyle 0\]

要仅评估单侧极限，请将“+”或“-”作为 limit 的第四个参数传递。例如，要计算

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}, \]

limit(1/x, x, 0, '+')

\[\displaystyle \infty\]

limit(1/x, x, 0, '-')

\[\displaystyle -\infty\]

级数展开¶

SymPy 可以计算函数围绕一个点的渐近级数展开。要计算 \(f(x)\) 围绕 \(x^n\) 阶项 \(x=x_0\) 项的展开，请使用 f(x).series(x, x0, n). x0 和 n 可以省略，在这种情况下，将使用默认值 x0=0 和 n=6。

expr = exp(sin(x))
expr.series(x, 0, 4)

\[\displaystyle 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + O\left(x^{4}\right)\]

最后的 \(O\left(x^4\right)\) 项表示 \(x=0\) 处的 Landau 阶项。

x + x**3 + x**6 + O(x**4)

\[\displaystyle x + x^{3} + O\left(x^{4}\right)\]

x*O(1)

\[\displaystyle O\left(x\right)\]

如果您不想要 \(O\) 项，请使用 removeO 方法。

expr.series(x, 0, 4).removeO()

\[\displaystyle \frac{x^{2}}{2} + x + 1\]

\(O\) 表示法支持任意限制点（0 除外）：

exp(x - 6).series(x, x0=6)

\[\displaystyle -5 + \frac{\left(x - 6\right)^{2}}{2} + \frac{\left(x - 6\right)^{3}}{6} + \frac{\left(x - 6\right)^{4}}{24} + \frac{\left(x - 6\right)^{5}}{120} + x + O\left(\left(x - 6\right)^{6}; x\rightarrow 6\right)\]

有限差分¶

到目前为止，我们已经分别研究了具有解析导数和原始函数的表达式。但是，如果我们想要一个表达式来估计一条曲线的导数，而该曲线缺少封闭形式表示，或者我们还不知道其函数值，该怎么办？一种方法是使用有限差分（Finite differences）方法。

使用有限差分进行微分的最简单方法是使用 distinct_finite 函数：

f, g = symbols('f g', cls=Function)

differentiate_finite(f(x)*g(x))

\[\displaystyle - f{\left(x - \frac{1}{2} \right)} g{\left(x - \frac{1}{2} \right)} + f{\left(x + \frac{1}{2} \right)} g{\left(x + \frac{1}{2} \right)}\]

如果您已经有一个 Derivative 实例，您可以使用 as_finite_difference 方法生成任意阶导数的近似值：

f = Function('f')

dfdx = f(x).diff(x)
dfdx

\[\displaystyle \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}\]

dfdx.as_finite_difference()

\[\displaystyle - f{\left(x - \frac{1}{2} \right)} + f{\left(x + \frac{1}{2} \right)}\]

在这里，使用最小数量的点（一阶导数为 2）使用步长为 1 等距计算一阶导数围绕 x 近似。我们可以使用任意步长（可能包含符号表达式）：

f = Function('f')
d2fdx2 = f(x).diff(x, 2)
h = Symbol('h')
d2fdx2.as_finite_difference([-3*h,-h,2*h])

\[\displaystyle \frac{f{\left(- 3 h \right)}}{5 h^{2}} - \frac{f{\left(- h \right)}}{3 h^{2}} + \frac{2 f{\left(2 h \right)}}{15 h^{2}}\]

如果您只是对评估权重感兴趣，您可以手动进行：

finite_diff_weights(2, [-3, -1, 2], 0)[-1][-1]

[1/5, -1/3, 2/15]

请注意，我们只需要从 finite_diff_weights 返回的最后一个子列表中的最后一个元素。这样做的原因是该函数还为较低的导数生成权重并使用较少的点（有关更多详细信息，请参阅 finite_diff_weights 的文档）。

如果直接使用 finite_diff_weights 看起来复杂，并且 Derivative 实例的 as_finite_difference 方法不够灵活，可以使用以 order、x_list、y_list 和 x0 为参数的 apply_finite_diff：

x_list = [-3, 1, 2]
y_list = symbols('a b c')
apply_finite_diff(1, x_list, y_list, 0)

\[\displaystyle - \frac{3 a}{20} - \frac{b}{4} + \frac{2 c}{5}\]

1.1.3. 化简 1.1.5. 求解