1.1.1. 简介¶

符号计算: 符号计算（Symbolic Computation）是以符号的方式处理数学对象的计算。这意味着数学对象被精确的表示，而不是近似的表示，带有未求值的数学表达式保留符号形式。

下面举几个例子来说明符号计算的好处。

精确求值¶

对于 \(\sqrt{9}=3\) 这个数学常识，我们一定不会陌生。可以直接使用 Python 内建库求取：

import math
math.sqrt(9)

3.0

此时，符合数学直观。但是，对于 \(\sqrt{8}\) 可能并不一定会那么的准确：

math.sqrt(8)

2.8284271247461903

这里得到的是 \(\sqrt{8}\) 的近似值（因为 \(\sqrt{8}\) 是无理数，不能使用有限小数表示）。如果仅仅是想要获得 \(\sqrt{8}\) 的近似值，这样就结束是没有问题的，但是，想要通过下面的近似值立即判断 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)：

math.sqrt(8), math.sqrt(2)

(2.8284271247461903, 1.4142135623730951)

是很难的。对于符号计算，则是很容易的：

import sympy
sympy.sqrt(8)

\[\displaystyle 2 \sqrt{2}\]

上面的例子可以看出 SymPy 可以精确的表达数学概念。符号计算系统（Symbolic computation systems，也称为 CAS（computer algebra systems））可以使用变量计算数学表达式：

数学变量是使用 symbols 定义的。比如，可以定义数学表达式 \(x + 2y\)：

from sympy import symbols

x, y = symbols('x y')
expr = x + 2*y
expr

\[\displaystyle x + 2 y\]

可以继续对数学表达式 expr 进行计算：

expr + 1

\[\displaystyle x + 2 y + 1\]

expr - x

\[\displaystyle 2 y\]

x*expr

\[\displaystyle x \left(x + 2 y\right)\]

也可以对数学表达式进行因式分解或者展示：

from sympy import expand, factor

expanded_expr = expand(x*expr)
expanded_expr # 展示表达式

\[\displaystyle x^{2} + 2 x y\]

factor(expanded_expr) # 转换为因子分解表达式

\[\displaystyle x \left(x + 2 y\right)\]

from sympy import *

计算：\(\sin(x) \exp(x)\) 的导数：

diff(sin(x)*exp(x), x)

\[\displaystyle e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\]

计算：\(\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\mathsf{d}x\)

integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)

\[\displaystyle e^{x} \sin{\left(x \right)}\]

计算：\(\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\mathsf{d}x\)

integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))

\[\displaystyle \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}\]

计算：\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin{(x)}}{x}\)

limit(sin(x)/x, x, 0)

\[\displaystyle 1\]

解方程：\(x^2−2=0\)

init_printing(use_latex='mathjax')

solve(x**2 - 2, x)

\[\displaystyle \left[ - \sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right]\]

解微分方程：\(y'' - y = e^t\)

y = Function('y')
t = symbols('t')
dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))

\[\displaystyle y{\left(t \right)} = C_{2} e^{- t} + \left(C_{1} + \frac{t}{2}\right) e^{t}\]

计算 \(\left[\begin{smallmatrix}1 & 2\\2 & 2\end{smallmatrix}\right]\) 的奇异值：

Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()

\[\displaystyle \left\{ \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2} : 1, \ \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} : 1\right\}\]

使用球面 Bessel 函数 \(j_\nu(z)\) 重写 Bessel 函数 \(J_{\nu}\left(z\right)\)

nu, z = symbols('nu z')
besselj(nu, z).rewrite(jn)

\[\displaystyle \frac{\sqrt{2} \sqrt{z} j_{\nu - \frac{1}{2}}\left(z\right)}{\sqrt{\pi}}\]