1.1.1. 简介¶

符号计算: 符号计算（Symbolic Computation）是以符号的方式处理数学对象的计算。这意味着数学对象被精确的表示，而不是近似的表示，带有未求值的数学表达式保留符号形式。

下面举几个例子来说明符号计算的好处。

精确求值¶

对于 $\sqrt{9}=3$ 这个数学常识，我们一定不会陌生。可以直接使用 Python 内建库求取：

import math
math.sqrt(9)

3.0

此时，符合数学直观。但是，对于 $\sqrt{8}$ 可能并不一定会那么的准确：

math.sqrt(8)

2.8284271247461903

这里得到的是 $\sqrt{8}$ 的近似值（因为 $\sqrt{8}$ 是无理数，不能使用有限小数表示）。如果仅仅是想要获得 $\sqrt{8}$ 的近似值，这样就结束是没有问题的，但是，想要通过下面的近似值立即判断 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ：

math.sqrt(8), math.sqrt(2)

(2.8284271247461903, 1.4142135623730951)

是很难的。对于符号计算，则是很容易的：

import sympy
sympy.sqrt(8)

$\displaystyle 2 \sqrt{2}$

上面的例子可以看出 SymPy 可以精确的表达数学概念。符号计算系统（Symbolic computation systems，也称为 CAS（computer algebra systems））可以使用变量计算数学表达式：

数学变量是使用 symbols 定义的。比如，可以定义数学表达式 $x + 2y$ ：

from sympy import symbols

x, y = symbols('x y')
expr = x + 2*y
expr

$\displaystyle x + 2 y$

可以继续对数学表达式 expr 进行计算：

expr + 1

$\displaystyle x + 2 y + 1$

expr - x

$\displaystyle 2 y$

x*expr

$\displaystyle x \left(x + 2 y\right)$

也可以对数学表达式进行因式分解或者展示：

from sympy import expand, factor

expanded_expr = expand(x*expr)
expanded_expr # 展示表达式

$\displaystyle x^{2} + 2 x y$

factor(expanded_expr) # 转换为因子分解表达式

$\displaystyle x \left(x + 2 y\right)$

from sympy import *

计算： $\sin(x) \exp(x)$ 的导数：

diff(sin(x)*exp(x), x)

$\displaystyle e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

计算： $\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\mathsf{d}x$

integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)

$\displaystyle e^{x} \sin{\left(x \right)}$

计算： $\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\mathsf{d}x$

integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$

计算： $\lim_{x\to 0} \frac{\sin{(x)}}{x}$

limit(sin(x)/x, x, 0)

$\displaystyle 1$

解方程： $x^2−2=0$

init_printing(use_latex='mathjax')

solve(x**2 - 2, x)

$\displaystyle \left[ - \sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right]$

解微分方程： $y'' - y = e^t$

y = Function('y')
t = symbols('t')
dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))

$\displaystyle y{\left(t \right)} = C_{2} e^{- t} + \left(C_{1} + \frac{t}{2}\right) e^{t}$

计算 $\left[\begin{smallmatrix}1 & 2\\2 & 2\end{smallmatrix}\right]$ 的奇异值：

Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()

$\displaystyle \left\{ \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2} : 1, \ \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} : 1\right\}$

使用球面 Bessel 函数 $j_\nu(z)$ 重写 Bessel 函数 $J_{\nu}\left(z\right)$

nu, z = symbols('nu z')
besselj(nu, z).rewrite(jn)

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} \sqrt{z} j_{\nu - \frac{1}{2}}\left(z\right)}{\sqrt{\pi}}$