迭代法
设 $f(x): M \to M$. 记
$$f^0(x) = x, f^1(x) = f(x), f^2(x) = f(f(x)), \cdots, f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$$
其中的 $n$ 叫做 $f^n(x)$ 的迭代次数。
如果 $f(x)$ 有反函数，可以用 $f^{-1}(x)$ 表示。$f^n(x)$ 的反函数是 $f^{-n}(x)$.
一个十分有用的结论：
如果有一个可逆的函数 $\varphi$，取 $F(x) = \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi(x)$，则有
$$F(F(x)) = \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi(x) = \varphi^{-1} \circ f^2 \circ \varphi(x)$$
更一般的 $F^n(x) = \varphi^{-1} \circ f^n \circ \varphi(x)$.
这样一来，便把 $F(x)$ 的 $n$ 次迭代问题转换为 $f(x)$ 的 $n$ 次迭代问题了。由于 $\varphi(x)$ 的取法千变万化，这就能够构造出一系列的函数的迭代问题与数列计算问题。
【例1】设 $F(x) = x + 2\sqrt{x} + 1$，计算 $F^n(x)$.
【解】$F(x) = (\sqrt{x} +1)^2$，取 $\varphi(x) = \sqrt{x}$，则 $\varphi^{-1}(x) = x^2, f(x) = x+1$，则 $F^n(x) = (\sqrt{x} + n)^2$.
【例2】设 $F(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + c}}$，计算 $F^n(x)$.
【解】观察 $F(x)$ 形似 $f(x) = \frac{x}{x+c}$，故c^k而，我们可以设 $\varphi(x) = x^2$，有 $\varphi^{-1}(x) = \sqrt{x}$. 先求得
$$f^n(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2\sum_{k=0}^{n-1} c^k + c^n}}$$
则 $F^n(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2\sum_{k=0}^{n-1} c^k + c^n}}$.
【例3】有数列 ${a_n}$，满足 $a_0 = 2$，$a_{n+1} = \frac{a_n^2}{2a_n - 1}$ ($n\in \mathbb{N}$)，求 $a_n$ 的极限。
【解】令 $F(x) = \frac{x^2}{2x - 1}$，则命题转换为求 $F^n(x)$ 的极限。
$$F(x) = \frac{x^2}{x^2 - (x - 1)^2} = \frac 1 {1 - (1 - \frac 1 x)^2}$$
取 $\varphi(x) = 1 - \frac 1 x$，有 $\varphi^{-1}(x) = \frac 1 {1 - x}$，$f(x) = x^2$，于是
$$F^n(x) = \frac 1 {1 - (1 - \frac 1 x)^{2^n}}$$
最终
$$a_n = F^n(2) = \frac 1 {1 - 2^{-2n}}$$
因而 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 1$.
