# 数学符号

## 数字

* $x$：标量
* $\mathbf{x}$：向量
* $\mathbf{X}$：矩阵
* $\mathsf{X}$：张量
* $\mathbf{I}$：单位矩阵
* $x_i$, $[\mathbf{x}]_i$：向量$\mathbf{x}$第$i$个元素
* $x_{ij}$, $[\mathbf{X}]_{ij}$：矩阵$\mathbf{X}$第$i$行第$j$列的元素

```{div} w3-padding w3-card w3-pale-green
向量、矩阵使用 `\mathbf`，张量使用 `\mathsf`。
```

```{important}
**约定**：向量是列向量。
```

## 集合论

* $\mathcal{X}$: 集合
* $\mathbb{Z}$: 整数集合
* $\mathbb{R}$ 实数集合
* $\mathbb{R}^n$: $n$维实数向量
* $\mathbb{R}^{a\times b}$: 包含$a$行和$b$列的实数矩阵
* $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$: 集合$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的并集（`\cup`）
* $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}$：集合$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的交集（`\cap`）
* $\mathcal{A}\setminus\mathcal{B}$：集合$\mathcal{B}$与集合$\mathcal{A}$相减（`\setminus`）

```{div} w3-padding w3-card w3-pale-green
集合使用 `\mathbb`，集合族使用 `\mathcal`。
```

## 函数和运算符

* $f(\cdot)$：函数
* $\log(\cdot)$：自然对数
* $\exp(\cdot)$: 指数函数
* $\mathbf{1}_\mathcal{X}$: 指示函数
* $\mathbf{(\cdot)}^\top$: 向量或矩阵的转置
* $\mathbf{X}^{-1}$: 矩阵的逆
* $\odot$: 按元素相乘
* $[\cdot, \cdot]$：连结
* $\lvert \mathcal{X} \rvert$：集合的基数
* $\|\cdot\|_p$: ：$L_p$ 正则
* $\|\cdot\|$: $L_2$ 正则
* $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$：向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$的点积
* $\sum$: 连加
* $\prod$: 连乘
* $\stackrel{\mathrm{def}}{=}$：定义
* $\ast$: 例如，$a^{\ast}$

## 微积分

* $\frac{dy}{dx}$：$y$关于$x$的导数
* $\frac{\partial y}{\partial x}$：$y$关于$x$的偏导数
* $\nabla_{\mathbf{x}} y$：$y$关于$\mathbf{x}$的梯度
* $\int_a^b f(x) \;dx$: $f$在$a$到$b$区间上关于$x$的定积分
* $\int f(x) \;dx$: $f$关于$x$的不定积分

## 概率与信息论

* $P(\cdot)$：概率分布
* $z \sim P$: 随机变量$z$具有概率分布$P$
* $P(X \mid Y)$：$X\mid Y$的条件概率
* $p(x)$: 概率密度函数
* $\mathbb{E}_{x} [f(x)]$: 函数$f$对$x$的数学期望
* $X \perp Y$: 随机变量$X$和$Y$是独立的
* $X \perp Y \mid Z$: 随机变量$X$和$Y$在给定随机变量$Z$的条件下是独立的
* $\mathrm{Var}(X)$: 随机变量$X$的方差
* $\sigma_X$: 随机变量$X$的标准差
* $\mathrm{Cov}(X, Y)$: 随机变量$X$和$Y$的协方差
* $\rho(X, Y)$: 随机变量$X$和$Y$的相关性
* $H(X)$: 随机变量$X$的熵
* $D_{\mathrm{KL}}(P\|Q)$: $P$和$Q$的KL-散度

## 复杂度

* $\mathcal{O}$：大O标记